【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;
(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)求出導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導數(shù)求出的最小值即可求解;
(2)分別設切點橫坐標為,利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.
(1),
函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立.
令,得,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.
因為,則在上恒成立等價于在上恒成立;
又
,
所以,即.
(2)設的切點橫坐標為,則
切線方程為……①
設的切點橫坐標為,則,
切線方程為……②
若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得
即
令,則
所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
,使得
時總有
又時,
在上總有解
綜上,函數(shù)與總存在公切線.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】探月工程“嫦娥四號”探測器于2018年12月8日成功發(fā)射,實現(xiàn)了人類首次月球背面軟著陸.以嫦娥四號為任務圓滿成功為標志,我國探月工程四期和深空探測工程全面拉開序幕.根據(jù)部署,我國探月工程到2020年前將實現(xiàn)“繞、落、回”三步走目標.為了實現(xiàn)目標,各科研團隊進行積極的備戰(zhàn)工作.某科研團隊現(xiàn)正準備攻克甲、乙、丙三項新技術(shù),甲、乙、丙三項新技術(shù)獨立被攻克的概率分別為,若甲、乙、丙三項新技術(shù)被攻克,分別可獲得科研經(jīng)費萬,萬,萬.若其中某項新技術(shù)未被攻克,則該項新技術(shù)沒有對應的科研經(jīng)費.
(1)求該科研團隊獲得萬科研經(jīng)費的概率;
(2)記該科研團隊獲得的科研經(jīng)費為隨機變量,求的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式,在日常消費中手機支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進行了研究,發(fā)現(xiàn)共有60人以手機支付作為自己的首選支付方式,在這60人中,45歲以下的占,在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中,45歲及以上的有30人.
(1)從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中,任意選取3人,求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率;
(2)某商家為了鼓勵人們使用手機支付,做出以下促銷活動:凡是用手機支付的消費者,商品一律打八折. 已知某商品原價50元,以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費者購買該商品的支付方式的概率,設銷售每件商品的消費者的支付方式都是相互獨立的,求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩點.
(1)若,求直線AB的斜率;
(2)設點M在線段AB上運動,原點O關(guān)于點M的對稱點為C,求四邊形OACB面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,橢圓經(jīng)過點,右焦點到右準線和左頂點的距離相等,經(jīng)過點的直線交橢圓于點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)點是直線上在橢圓外的一點,且,證明:點在定直線上.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民收入逐年增長.某地區(qū)2014年至2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均純收入 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2014年至2018年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測2019年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入為多少?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
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【題目】某市移動公司為了提高服務質(zhì)量,決定對使用A,B兩種套餐的集團用戶進行調(diào)查,準備從本市個人數(shù)超過1000人的大集團和8個人數(shù)低于200人的小集團中隨機抽取若干個集團進行調(diào)查,若一次抽取2個集團,全是小集團的概率為.
求n的值;
若取出的2個集團是同一類集團,求全為大集團的概率;
若一次抽取4個集團,假設取出小集團的個數(shù)為X,求X的分布列和期望.
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