Question

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓O與直線l：x-

3

y=8相切．
（1）求圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使PA，PO，PB成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出圓心O到直線l的距離得圓的半徑r，寫出圓的方程即可；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出A、B的坐標(biāo)，由PA，PO，PB成等比數(shù)列，得出x、y的關(guān)系式，再求

PA

•

PB

的取值范圍即可．

解答： 解：（1）∵圓心O到直線l：x-

3

y-8=0的距離是d=r，
∴r=

|1×0- 3 ×0-8|

12+( 3 )2

=4；
∴圓O的方程是x²+y²=16；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），其中x²+y²＜16；
在圓O的方程x²+y²=16中，令y=0，得x=±4，
∴A（-4，0），B（4，0）；
由PA，PO，PB成等比數(shù)列，
得PO²=PA•PB；
∴x²+y²=

((x+4)2+y2)((x-4)2+y2)

，
化簡(jiǎn)得x²-y²=8；
由

x2+y2＜16 x2-y2=8

，
得8≤x²＜12；
∴

PA

•

PB

=x2+y2-16=2x2-24∈[-8，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，考查了等比中項(xiàng)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題目．