Question

給出以下結(jié)論：
①f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函數(shù)；
②g（x）=

1-x2

|x+2|-2

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
③F（x）=f（x）f（-x）（x∈R）是偶函數(shù)；
④h（x）=lg

1-x

1+x

是奇函數(shù)．
其中正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，利用奇函數(shù)的概念，判斷f（-x）是否等于-f（x）即可；
②，依題意知-1≤x≤1，于是可得g（x）=

1-x2

x

，利用奇偶函數(shù)的概念判斷即可；
③，利用奇函數(shù)的概念可判斷F（x）=f（x）f（-x）是偶函數(shù)；
④，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及奇函數(shù)的概念可判斷h（x）=lg

1-x

1+x

是奇函數(shù)．

解答： 解：對(duì)于①，∵f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x），
∴f（x）=|x+1|-|x-1|是奇函數(shù)，①正確；
對(duì)于②，由1-x²≥0得：-1≤x≤1，
∴g（x）=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x+2-2

=

1-x2

x

，滿(mǎn)足g（-x）=-g（x），故y=g（x）是奇函數(shù)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵F（x）=f（x）f（-x），
∴F（-x）=f（-x）f（x）=F（x）（x∈R），∴F（x）=f（x）f（-x）是偶函數(shù)，③正確；
對(duì)于④，由

1-x

1+x

＞0得，-1＜x＜1，
又h（-x）=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-h（x），∴h（x）=lg

1-x

1+x

是奇函數(shù)，④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查函數(shù)的奇偶性判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．