Question

11．已知函數(shù)f（x）=2x³-6x-3a|2lnx-x²+1|，（a∈R）．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令g（x）=2lnx-x²+1，求出g（x）的導數(shù)，得到g（x）＜0，去掉絕對值，求出f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=2x³-6x的定義域為（0，+∞）．
∵f'（x）=6x²-6=6（x+1）（x-1）…（2分）
當x＞1時，f'（x）＞0；當0＜x＜1時，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增…（4分）
（2）令g（x）=2lnx-x²+1，$g'（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{2（1+x）（1-x）}{x}$，
當0＜x＜1時，g'（x）＞0；當x＞1時，g'（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0．
∴f（x）=2x³-6x+3a（2lnx-x²+1），…（6分）
$f'（x）=6{x^2}-6+3a（\frac{2}{x}-2x）=\frac{6（x+1）（x-1）（x-a）}{x}$，…（7分）
當a≤0時，0＜x＜1?f'（x）＜0；x＞1?f'（x）＞0，
則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）恰有一個極小值，不符合題意…（8分）
當0＜a＜1時，a＜x＜1?f'（x）＜0，0＜x＜a或x＞1?f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）恰有一個極大值一個極小值，符合題意…（9分）
當a=1時，$f'（x）=\frac{{6（x+1）{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
既無極大值也無極小值，不符合題意…（10分）
當a＞1時，1＜x＜a?f'（x）＜0；0＜x＜1或x＞a?f'（x）＞0，
函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）恰有一個極大值一個極小值，符合題意…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．