Question

已知函數(shù)f（x）=xcos

πx

λ

，存在f（x）的零點(diǎn)x₀，（x₀≠0），滿足[f′（x₀）]²＜π²（λ²-x₀²），則λ的取值范圍是（　�。�

• A、（-

  3

  ，0）∪（0，

  3

  ，）
• B、（-

  3

  3

  ，0）∪（0，

  3

  3

  ）
• C、（-∞，-

  3

  ）∪（

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-

  3

  3

  ）∪（

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：關(guān)鍵題意得出

πx0

λ

=kπ+

π

2

，k∈z，x₀=kλ+

λ

2

，k∈z，x₀²的最小值為

λ2

4

，即sin

πx0

λ

=±1，運(yùn)用最小值得出：（1+λ²）•

λ2

4

＜λ⁴，求解即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=xcos

πx

λ

，
∴f′（x）=cos

πx

λ

-x•

π

λ

sin

πx

λ

，
∵存在f（x）的零點(diǎn)x₀，（x₀≠0），
∴

πx0

λ

=kπ+

π

2

，k∈z，x₀=kλ+

λ

2

，k∈z，x₀²的最小值為

λ2

4

即sin

πx0

λ

=±1，
∴[f′（x₀）]²＜π²（λ²-x₀²），轉(zhuǎn)化為：

π2 x 2 0

λ2

＜π²（λ²-x₀²），
（1+λ²）x

2 0

＜λ⁴，
即只需滿足：（1+λ²）•

λ2

4

＜λ⁴，
化簡(jiǎn)得：λ²＞

1

3

，
即λ＞

3

3

或λ＜-

3

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的零點(diǎn)，綜合求解不等式，關(guān)鍵是確定x₀²的最小值為

λ2

4

，代入得出轉(zhuǎn)化的不等式，難度較大，屬于難題．