如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD， 如圖2。
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的體積；
（Ⅱ）求證：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小。
解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）（方法一）連結(jié)AC，BD交于O點(diǎn)，連結(jié)GO，F(xiàn)O，EO，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，
∴EF//CD，且EF=CD，同理GO//CD，且GO=CD，
∴EF// GO， ∴四邊形EFOG是平行四邊形，
∴EO平面EFOG，
又在三角形PAC中，E，O分別為PC，AC的中點(diǎn)，
∴PA∥EO，EO平面EFOG，PA平面EFOG，
∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG。
（方法二）如圖以D為原點(diǎn)，以為方向向量，
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為：，
，
，
設(shè)平面EFG的法向量為，
∴ ，
取，
∵，
∴，
又平面EFG，
∴AP∥平面EFG.
（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，
又∵PD⊥面ABCD，
∴AD⊥PD，
又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴向量是平面PCD的一個(gè)法向量，，
又由（Ⅰ）方法二，知平面EFG的法向量為，
∴
 結(jié)合圖知二面角G-EF-D的平面角為45°。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對角線BD折起（圖2），記折起后點(diǎn)A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•韶關(guān)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=
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AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB；
（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，CD=6，AD=3，E為CD上一點(diǎn)，且DE=4，過E作EF∥AD交BC于F現(xiàn)將△CEF沿EF折起到△PEF，使∠PED=60°，如圖2．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面ADP；
（Ⅱ）求異面直線BD與PF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段PF上是否存在一點(diǎn)M，使DM與平在ADP所成的角為30°？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．

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