【題目】已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,,,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】分析:解法一:依題意可知兩兩垂直,以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
(1)利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量垂直,即可證得線(xiàn)面平面;
(2)求出兩個(gè)平面的法向量,利用兩個(gè)向量的夾角公式,即可求解二面角的余弦值.
解法二:利用空間幾何體的點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系的判定定理和二面角的定義求解:
(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,證明四邊形為平行四邊形,得出線(xiàn)線(xiàn)平行,利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證得線(xiàn)面平面;
(2)以及二面角的平面角,在直角三角形中求出其平面角的余弦值,即可得到二面角的余弦值.
詳解:解法一:依條件可知、、兩兩垂直,
如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo):,,,,,,,.
(Ⅰ)證明:∵,,
是平面的一個(gè)法向量,且,
所以.
又∵平面,∴平面;
(Ⅱ)設(shè)是平面的法向量,
因?yàn)?/span>,,
由,得.
解得平面的一個(gè)法向量,
由已知,平面的一個(gè)法向量為,
,
∴二面角的余弦值是.
解法二:
(Ⅰ)證明:設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,
∵,分別是,的中點(diǎn),∴,
又∵,,
∴,∴四邊形是平行四邊形,
∴,∵平面,平面,
∴平面;
(Ⅱ)如圖,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,
∴,∵底面,∵,,∴,,
∴,∴底面,
在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)做,垂足為,
連接,,,,
∴平面,則,
∴是二面角的平面角,
∵,由,得,
所以,所以,
∴二面角的余弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.“sinα= ”是“cos2α= ”的必要不充分條件
B.已知命題p:?x∈R,使2x>3x;命題q:?x∈(0,+∞),都有 < ,則p∧(¬q)是真命題
C.命題“若xy=0,則x=0或y=0”的否命題是“若xy≠0,則x≠0或y≠0”
D.從勻速傳遞的生產(chǎn)流水線(xiàn)上,質(zhì)檢員每隔5分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這是分成抽樣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足(2a-b)cosC-ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若三邊a,b,c滿(mǎn)足a+b=13,c=7,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)若存在,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用系統(tǒng)抽樣法從200名職工中抽取容量為20的樣本,將200名職工從1至200編號(hào),按編號(hào)順序平均分成20組(1~10號(hào),11~20號(hào),…,191…200號(hào)),若第15組中抽出的號(hào)碼為147,則第一組中按此抽簽方法確定的號(hào)碼是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的日銷(xiāo)售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
若以上表中頻率作為概率,且每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立.
(1)求5天中該種商品恰好有兩天的日銷(xiāo)售量為1.5噸的概率;
(2)已知每噸該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2千元, 表示該種商品某兩天銷(xiāo)售利潤(rùn)的和(單位:千元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),橢圓的離心率,是橢圓的右焦點(diǎn),直線(xiàn)的斜率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).
()求橢圓的方程.
()設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與相交于,兩點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程式.
(Ⅱ)定點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值;并求出取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)求.
(Ⅲ)定直線(xiàn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),證明點(diǎn)到的距離與到定直線(xiàn)的距離的比值為常數(shù),并求出此常數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=mxα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2).
(1)試比較2ln f(3)與3ln f(2)的大;
(2)定義在R上的函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(-x)=g(x), g(4+x)=g(4-x),且當(dāng)x∈[0,4]時(shí),
. 若關(guān)于x的不等式g 2(x)+ng(x)>0在[-200,200]上有且只有151個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)n的取值范圍。
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