Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過(guò)P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M．
（1）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（1，3）處，求此時(shí)切線l的方程；
（2）若點(diǎn)P為原點(diǎn)時(shí)，Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段PQ 的中點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率存在時(shí)，由點(diǎn)斜式設(shè)出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑求得k的值，可得切線方程．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，要檢驗(yàn)是否滿足條件，從而得出結(jié)論．
（2）設(shè)點(diǎn)N（x，y），Q（x₀，y₀），則由中點(diǎn)公式可得x=

x   0

2

，y=

y0

2

，即 x₀=2x，y₀=2y．再把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)N的軌跡方程．

解答：解：（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率存在時(shí)，設(shè)所求切線的斜率為k，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0，
∴

|-2k+1|

1+k2

=2，解得k=-

3

4

．
故所求切線方程為-

3

4

x-y+

3

4

+3=0，即3x+4y-15=0．
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率不存在時(shí)，方程為x=1，也滿足條件．
故所求圓的切線方程為3x+4y-15=0或x=1．
（2）圓C（x+1）²+（y-2）²=4，設(shè)點(diǎn)N（x，y），Q（x₀，y₀），則x=

x   0

2

，y=

y0

2

．
即 x₀=2x，y₀=2y，再由Q點(diǎn)在圓上，可得（2x+1）²+（2y-2）²=4，即4x²+4y²+4x-8y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的切線方程的方法，注意切線斜率不存在的情況；用代入法求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題．