Question

12．設(shè)集合A，B分別表示函數(shù)f（x）=$\sqrt{（1{-x}^{2}）+a}$的定義域和值域，且B是A的子集，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 使得原函數(shù)有意義，便有1-x²+a≥0，從而x²≤1+a，并且可得到$0≤f（x）≤\sqrt{1+a}$，需討論a是否為-1：a=-1時，可以驗證符合條件B⊆A；而a＞-1時，會得到$A=[-\sqrt{1+a}，\sqrt{1+a}]$，B=[0，$\sqrt{1+a}$]，從而看出滿足B⊆A，這樣即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：使原函數(shù)有意義，則：（1-x²）+a≥0；
∴x²≤1+a   （1）；
又1-x²≤1，∴（1-x²）+a≤1+a；
∴$0≤\sqrt{（1-{x}^{2}）+a}≤\sqrt{1+a}$；
（1）若a=-1，則A=B={0}，滿足B⊆A；
（2）若a＞-1，則B=[0，$\sqrt{1+a}$]；
解不等式（1）得，$-\sqrt{1+a}≤x≤\sqrt{1+a}$；
∴$A=[-\sqrt{1+a}，\sqrt{1+a}]$；
顯然滿足B⊆A；
∴綜上得，實數(shù)a的取值范圍為[-1，+∞）．
故答案為：[-1，+∞）．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念，及求法，一元二次不等式的解法，根據(jù)不等式的性質(zhì)的性質(zhì)求函數(shù)的值域，以及子集的概念．