Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，記y=f（x），其中α≠kπ+

π

2

，β≠kπ+

π

2

，α+β≠kπ+

π

2

，k∈Z．
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）定義數列a_n，a1=

1

2

，a_n+1²=2a_nf（a_n），（n∈N^*）
①證明數列{

1

a 2 n

-2}是等比數列；
②設bn=

1

a 2 n

-2，S_n為數列b_n的前n項和，求使Sn＞

63

16

成立的最小n的值．

Answer 1

分析：（1）分別把題設等式中兩邊變形后利用兩角和公式展開整理求得tan（α+β）=2tanα，然后利用正切的兩角和公式展開后，用x和y表示，整理出y關于x的函數解析式．
（2）①利用（1）中函數的解析式整理求得理

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)，利用等比數列的定義判定出數列{

1

a n 2

-2}為等比數列．
②利用（2）可求得數列{

1

a n 2

-2}的通項公式，進而求得b_n，利用等比數列的求和公式求得S_n的表達式，利用題設不等式求得n的范圍，則n的最小值可得．

解答：解：（1）sin（2α+β）=3sinβ變形得sin[α+（α+β）]=3sin[（α+β）-α]
化簡得tan（α+β）=2tanα
所以2tanα=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，所以2x=

x+y

1-xy

，
從而y=f(x)=

x

1+2x2

；
（2）①由

a

2 n+1

=2anf(an)=

2an

1+2 a 2 n

，變形得

1

a 2 n+1

=

1

2

•

1

a 2 n

+1，
整理得

1

a 2 n+1

-2=

1

2

(

1

a 2 n

-2)
所以數列{

1

a 2 n

-2}是首項為2，公比為

1

2

的等比數列．
②bn=

1

a 2 n

-2=

1

2n-2

，所以Sn=4(1-

1

2n

)，
令4(1-

1

2n

)＞

63

16

，則2ⁿ＞64=2⁶，所以n＞6，
所以n的最小值為7．

點評：本題主要考查了三角函數與數列的綜合．數列是高考中的熱點問題，一般要與函數，不等式，三角函數，對數函數等問題綜合考查，平時應注意這方面的練習．