Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虛半軸長為1，離心率e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若過右焦點F₂作垂直于x軸的直線1，交雙曲線于A、B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，c，進而得到雙曲線的方程；
（2）求得直線l的方程，代入雙曲線的方程，求得A，B的坐標，進而得到AB的長．

解答 解：（1）由題意可得，b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又a²+b²=c²，解得a=$\sqrt{3}$，c=2，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）右焦點F₂（2，0），
過右焦點F₂作垂直于x軸的直線1：x=2，
代入雙曲線的方程，可得：
y²=$\frac{1}{3}$，解得y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即有|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查弦長的求法，注意聯(lián)立直線和雙曲線的方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．