Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，連接、．

（1）求線段的長；

（2）若平分，求的值；

（3）該函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）令，建立方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（2）先表示出，進(jìn)而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出點(diǎn)是的外接圓的圓心，進(jìn)而得出，最后用三角函數(shù)建立方程求解即可．

（1）∵ 二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)、，

∴令，則，

或，

，，

，

故答案為2；

（2）如圖，

由（1）知，，，

，，

令，，

，

，

過點(diǎn)作，

，

，

，

是的平分線，

，

，

，

，

，

在中，根據(jù)勾股定理得，，

，

（舍）或（舍）或；

（3）存在，

理由：假設(shè)存在，如圖，

二次函數(shù)，

拋物線對稱軸為，

點(diǎn)是的垂直平分線上，

是等邊三角形，

，，

點(diǎn)是的垂直平分線上，

點(diǎn)是的外接圓的圓心，

，

，

，，

，，

，

函數(shù)圖象的對稱軸上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形．