【題目】本題共3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9.

已知數(shù)列滿足.

1)若,求的取值范圍;

2)若是公比為等比數(shù)列,,的取值范圍;

3)若成等差數(shù)列,且,求正整數(shù)的最大值,以及取最大值時相應(yīng)數(shù)列的公差.

【答案】1;(2;(3的最大值為1999,此時公差為.

【解析】

1)依題意:,又將已知代入求出x的范圍;

2)先求出通項:,由求出,對q分類討論求出Sn分別代入不等式SnSn+13Sn,得到關(guān)于q的不等式組,解不等式組求出q的范圍.

3)依題意得到關(guān)于k的不等式,得出k的最大值,并得出k取最大值時a1,a2,…ak的公差.

1)依題意:,

;又

3x27,

綜上可得:3x6

2)由已知得,,

,

當(dāng)q1時,Snn,SnSn+13Sn,即,成立.

當(dāng)1q3時,SnSn+13Sn,即

不等式

q1,故3qn+1qn2qn3q1)﹣22qn20恒成立,

而對于不等式qn+13qn+20,令n1,

q23q+20

解得1q2,又當(dāng)1q2q30,

qn+13qn+2qnq3+2qq3+2=(q1)(q2)≤0成立,

1q2,

當(dāng)時,

,SnSn+13Sn,即,

∴此不等式即,

3q10,q30,

3qn+1qn2qn3q1)﹣22qn20

qn+13qn+2qnq3+2qq3+2=(q1)(q2)>0

時,不等式恒成立,

q的取值范圍為:

3)設(shè)a1,a2,…ak的公差為d.由,且a11,

當(dāng)n1時,d2

當(dāng)n2,3,…,k1時,由,得d

所以d,

所以1000k,即k22000k+10000,

k1999

所以k的最大值為1999k1999時,a1a2,…ak的公差為

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