Question

4．如圖，矩形ABCD中，BC⊥平面ABE，且BC=4，AE=EB，F(xiàn)為CE的中點，且BF⊥平面ACE，B∩AC=G  
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求證：AE⊥平面BCE；
（3）求三棱錐E-ADC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接GF，由三角形的中位線可得到GF∥AE，再由線面平行的判定定理得證；
（2）證明AE⊥平面BCE，利用線面垂直的判定定理，只需證明AE⊥BC，BF⊥AE即可；
（3）證明OE⊥平面ADC，再用三棱錐的體積公式求解．

解答 （1）證明：連結(jié) GF，矩形ABCD中，BD∩AC=G
∴G為AC中點，又F為CE的中點，
∴GF∥AE．…（2分）
∵AE?平面BFD，GF?平面BFD，∴AE∥平面BFD．…（3分）
（2）證明：∵BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴BC⊥AE．
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面AEC，∴BF⊥AE，…（5分）
∵BC∩BF=BH，且BC，BF?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE   …（6分）
（3）解：取AB中點O，連結(jié)OE，
∵AE=EB，∴OE⊥AB
∵BC⊥平面ABE，∴OE⊥BC，
又∵AB∩BC=B，AB、BC?平面ABCD，
∴OE⊥平面ADC  …（8分）
∵BF⊥平面ACE，CE?平面ACE，∴BF⊥CE，
又F為CE的中點，∴BC=BE=4，…（10分）
由（2）知AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥EB．
∴△AEB為等腰直角三角形，∴$AB=\sqrt{A{E^2}+B{E^2}}=4\sqrt{2}$…（12分）
∴$OE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$，
故三棱錐E-ADC的體積為：${V_{E-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}．OE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{32}{3}$…（14分）

點評 本題主要考查線線，線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查了線面平行，垂直的判定定理以及三棱錐體積的求法，屬中檔題．