如圖所示,在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,點P在棱CC1上,且CC1=4CP.

(1)

求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示)

(2)

設O點在平面D1AP上的射影是H,求證:D1H⊥AP

(3)

求點P到平面ABD1的距離

答案:
解析:

(1)

  解析:∵AB⊥平面BCC1B1,∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB.

  如圖所示,建立空間直角坐標系,坐標原點為D.

  ∵CC1=4CP,CC1=4 ,∴CP=1.

  ∴A(4,0,0),P(0,4,1),B(4,4,0).

  ∴=(4,一4,-1),=(4,0,-1).

  ∴·=16+0+1=17.

  ∴cos∠=

  ==

  ∴直線AP與平面BCC1B1所成的角為arccos

(2)

  連結D1O,由(1)有D1(0,0,4),O(2,2,4).

  ∴=(2,2,0),∴·=8-8+0=0,∴

  ∵平面D1AP的斜線D1O在這個平面內的射影是D1H,∴D1H⊥AP.

(3)

  連結BC1,在平面BCC1B1中,過點P作PQ⊥BC1于點Q.

  ∵AB⊥平面BCC1B1,PQ平面BCC1B1,∴PQ⊥AB.∴PQ⊥平面ABC1D1

  ∴PQ就是點P到平面ABD1的距離.

  在Rt△C1PQ中,∠C1QP=,∠PC1Q=,PC1=3,

  ∴PQ=,即點P到平面ABD1的距離為

  點評:求夾角和距離問題是向量應用的主要方面,在垂直關系較多的幾何圖形中,常常建立空間直角坐標系求解,這也是高考考題的常見題型.


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