Question

已知函數(shù)f（x）=

a+x2+2x，x＜0 f(x-1)，x≥0

，且函數(shù)y=f（x）+x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，原函數(shù)的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=-x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后據(jù)題意畫出它們的圖象，判斷何時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)即可．

解答： 解：因?yàn)楫?dāng)x≥0的時(shí)候，f（x）=f（x-1），
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，x-1∈[-1，0），此時(shí)f（x）=f（x-1）=a+（x-1）²+2（x-1）
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，x-2∈[-1，0），此時(shí)f（x）=f（x-2）=f（x-2）=a+（x-2）²+2（x-2）
依此類推，f（x）在x＜0時(shí)為二次函數(shù)y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1，
在x≥0上為周期為1的函數(shù)，重復(fù)部分為y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1在區(qū)間[-1，0）上的部分．
二次函數(shù)y=a+x²+2x=（x+1）²+a-1頂點(diǎn)為（-1，a-1），
y=f（x）+x恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即y=f（x）與y=-x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
做出它們的圖象如下：

可知：只要是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)C在直線y=-x上或在該直線的下方，就能保證直線和函數(shù)y=f（x）的圖象產(chǎn)生三個(gè)不同的交點(diǎn)．
因此只需a-1≤0，即a≤1即可．
故答案為（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題思路，要注意準(zhǔn)確畫圖．