Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，點M是橢圓上的任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=4，橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓E的左焦點F₁作直線l交橢圓于P、Q兩點，點A為橢圓右頂點，能否存在這樣的直線，使，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的定義、離心率計算公式及a²=b²+c²即可得出；
（II）先對直線l的斜率討論，把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量的數(shù)量積運算即可得出．
解答：解：（I）由題意可得，解得．
故橢圓的方程為．
（II）若直線l⊥x軸，則，，
又A（2，0），∴=，，
∴，此時不滿足條件，直線l不存在．
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線ld的方程為：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立，消去y得到（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴，．
∵，．
∴=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）=3．
∴，
∴，
解得．
∴滿足條件的直線l存在，其方程為．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立及根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．