Question

6．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=8，D是AA₁的中點
（1）求證：平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（2）求四棱錐B-ACC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁，BC₁的中點E，F，連結A₁E，EF，DF，推導出DF∥A₁E，A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥B₁B，從而DF⊥平面BB₁C₁C，由此能證明平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．
（2）由題意知四棱錐B-ACC₁D與四棱錐C₁-A₁B₁BD等低等高，且${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-AC{C}_{1}D}+{V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}BD}$，從而四棱錐B-ACC₁D的體積${V}_{B-AC{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
分別取B₁C₁，BC₁的中點E，F，
連結A₁E，EF，DF，
∵D是AA₁的中點，∴由已知得EF∥DA₁，且EF=DA₁，
則四邊形形DA₁EF為平行四邊形形，∴DF∥A₁E，
由AB=AC，得A₁B₁=A₁C₁，∴A₁E⊥B₁C₁，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥平面A₁B₁C₁，∴A₁E⊥B₁B，又B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁E⊥平面BB₁C₁C，∴DF⊥平面BB₁C₁C，
又DF?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）由題意知四棱錐B-ACC₁D與四棱錐C₁-A₁B₁BD等低等高，
且${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-AC{C}_{1}D}+{V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}BD}$，
∴${V}_{B-AC{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，
∵A₁B₁=A₁C₁=5，B₁C₁=8，
∴B₁C邊上的高為3，
∴${S}_{△{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×3×8$=12，
∴四棱錐B-ACC₁D的體積${V}_{B-AC{C}_{1}D}=\frac{1}{2}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×12×8$=48．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的合理運用．