已知數(shù)列{an}為各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，其公比為q．
（1）當(dāng)q=
32
時(shí)，在數(shù)列{an}中：
①最多有幾項(xiàng)在1～100之間？
②最多有幾項(xiàng)是1～100之間的整數(shù)？
（2）當(dāng)q＞1時(shí)，在數(shù)列{an}中，最多有幾項(xiàng)是100～1000之間的整數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477，lg2=0.301）．
分析：（1）①不妨設(shè)a1≥1，設(shè)數(shù)列an有n項(xiàng)在1和100之間，由題意得：(
3
2
)n-1≤100．兩邊同取對數(shù)可得n≤12.37．從而得出n的最大值為12即得；
②不妨設(shè)1≤a1＜a1•
3
2
＜a1•(
3
2
)2＜…＜a1•(
3
2
)n-1≤100，其中a1，a1•
3
2
，a1•(
3
2
)2，，a1•(
3
2
)n-1均為整數(shù)，利用指數(shù)不等式3n-1≤100，得出n≤5從而得出當(dāng)q=
3
2
時(shí)，最多有5項(xiàng)是1和100之間的整數(shù)；
（2）設(shè)等比數(shù)列aqn-1滿足100≤a＜aq＜＜aqn-1≤1000，再設(shè)q=
t
s
，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，根據(jù)題意得到a是sn-1的倍數(shù)，令t=s+1，于是數(shù)列滿足不等關(guān)系：100≤a＜a•
s+1
s
＜＜a•(
s+1
s
)n-1≤100．下面就s進(jìn)行分類討論：如果s≥3，如果s=1，如果s=2，即可得出最多有幾項(xiàng)是100～1000之間的整數(shù)．
解答：解：（1）①不妨設(shè)a1≥1，設(shè)數(shù)列an有n項(xiàng)在1和100之間，則a1•(
3
2
)n-1≤100．所以，(
3
2
)n-1≤100．
兩邊同取對數(shù)，得（n-1）（lg3-lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值為12，即數(shù)列an中，最多有12項(xiàng)在1和100之間．（5分）
②不妨設(shè)1≤a1＜a1•
3
2
＜a1•(
3
2
)2＜＜a1•(
3
2
)n-1≤100，其中a1，a1•
3
2
，a1•(
3
2
)2，，a1•(
3
2
)n-1均為整數(shù)，所以a1為2n-1的倍數(shù)．所以3n-1≤100，所以n≤5．（8分）
又因?yàn)?6，24，36，54，81是滿足題設(shè)要求的5項(xiàng)．
所以，當(dāng)q=
3
2
時(shí)，最多有5項(xiàng)是1和100之間的整數(shù)．（10分）
（2）設(shè)等比數(shù)列aqn-1滿足100≤a＜aq＜＜aqn-1≤1000，
其中a，aq，，aqn-1均為整數(shù)，n∈N*，q＞1，顯然，q必為有理數(shù)．（11分）
設(shè)q=
t
s
，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，
因?yàn)閍qn-1=a(
t
s
)n-1為整數(shù)，所以a是sn-1的倍數(shù)．（12分）
令t=s+1，于是數(shù)列滿足100≤a＜a•
s+1
s
＜＜a•(
s+1
s
)n-1≤100．
如果s≥3，則1000≥a•(
s+1
s
)n-1≥（q+1）n-1≥4n-1，所以n≤5．
如果s=1，則1000≥a•2n-1≥100•2n-1，所以，n≤4．
如果s=2，則1000≥a•(
3
2
)n-1≥100•(
3
2
)n-1，所以n≤6．（13分）
另一方面，數(shù)列128，192，288，432，648，972滿足題設(shè)條件的6個(gè)數(shù)，
所以，當(dāng)q＞1時(shí)，最多有6項(xiàng)是100到1000之間的整數(shù)．（16分）
點(diǎn)評：本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}對于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2．
（1）求an的表達(dá)式；
（2）將數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值；
（3）設(shè)An為數(shù)列{
an-1
an
}的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式An
an+1
＜a-
3
2a
對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

例2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
2n
3n+1
(n∈N*，n≤8)，則下列各數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，為什么？（1）
3
5
（2）
11
17

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已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=an+2n，計(jì)算數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和；現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖（如圖所示），
（I）請?jiān)趫D中執(zhí)行框中的（A）處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能；
（II）根據(jù)程序框圖寫出偽代碼．
（Ⅲ）按照流程圖，執(zhí)行完程序框圖后輸出結(jié)果，s，p，i的值各為多少？

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已知數(shù)列{an}對于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2．
（1）求an的表達(dá)式；
（2）將數(shù)列{an}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值；
（3）設(shè)An為數(shù)列的前n項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式對一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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