（本題滿分14分）

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。

 

【答案】

(1)(2) (3)

【解析】

試題分析：解：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.

又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為

(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x0,y0),

由   得

又點P在橢圓上,得,

∴線段PA中點M的軌跡方程是.

(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.

當直線BC不垂直于x軸時,設該直線方程為y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

則,又點A到直線BC的距離d=,

∴△ABC的面積S△ABC=

于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立.

∴S△ABC的最大值是.

考點：橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系

點評：解決的關鍵是利用橢圓的性質得到a,b,c的關系式，同時聯(lián)立方程組，結合韋達定理來表示軌跡方程，結合距離公式得到面積，屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分
A．選修4-4：極坐標與參數(shù)方程在極坐標系中，直線l 的極坐標方程為θ=
π
3
 （ρ∈R ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
 （α 參數(shù)）．求直線l 和曲線C的交點P的直角坐標．
B．選修4-5：不等式選講
設實數(shù)x，y，z 滿足x+y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值，并求此時x，y，z 的值．

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（1）求證：AE⊥BE；（2）求三棱錐D－AEC的體積；（3）設M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.

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(本題滿分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}

(Ⅰ)若AB=[0,3]，求實數(shù)m的值

(Ⅱ)若ACRB，求實數(shù)m的取值范圍

 

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(本題滿分14分)

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程； 

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

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(本題滿分14分)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)判斷的奇偶性；

(3)方程是否有根?如果有根，請求出一個長度為的區(qū)間，使

；如果沒有，請說明理由?(注：區(qū)間的長度為).

 

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