Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$截得的弦長為$\sqrt{13}a$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出圓心到直線的距離，利用以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長為$\sqrt{13}$a，求出a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，圓心到直線的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$=$\frac{ab}{c}$，
∵以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長為$\sqrt{13}$a，
∴2$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{13}$a，
∴平方得4（c⁴-a²b²）=13a²c²，
∴4c⁴-17a²c²+4a⁴=0，
兩邊同除以4a⁴，得4e⁴-17e²+4=0，
∵e＞1，∴e=2，
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)圓心到直線的距離以及直線和圓相交的弦長公式建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．