Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式即可得解．
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），…（4分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π． …（6分）
（Ⅱ）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z有：-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）； …（9分）
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z有：$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，（k∈Z）．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．