Question

函數(shù)的定義域為．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設函數(shù)．若對于任意x₁∈，總存在x₂∈，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，可知導數(shù)大于0，從而函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以可求函數(shù)的值域；（2）對函數(shù)g（x）求導，得 g′（x）=3（x²-a），根據(jù)，，可知g′（x）≤0，所以當時，g（x）為減函數(shù)，從而可求函數(shù)g（x）的值域；任給x₁∈，，要使存在x₂∈使得g（x₂）=f（x₁），則函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，從而可得結論．
解答：解：（1）求導函數(shù)，，∵定義域為，∴f′（x）＞0
∴函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以函數(shù)的值域為即
（2）對函數(shù)g（x）求導，得 g′（x）=3（x²-a）
因此，當時，g′（x）≤0，所以當時，g（x）為減函數(shù)，
從而當時，有
即當時，--------------（8分）
任給x₁∈，，存在x₂∈使得g（x₂）=f（x₁），
則-----（10分）
即，結合  解得 --（12分）
點評：本題以具體函數(shù)為載體，考查利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，同時考查存在性問題的求解，其中將函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，是解題的關鍵．