Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的焦距為2c（c＞0），以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑作圓，過點(diǎn)$（\frac{a^2}{c}\;，\;0）$作該圓的兩條切線，若這兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，由切線PA、PB互相垂直，得出△OAP是等腰直角三角形，從而根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系建立a，c之間的關(guān)系式，最后解得離心率即可．

解答 解：如圖，切線PA、PB互相垂直，
又半徑OA垂直于PA，
∴△OAP是等腰直角三角形，
$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\sqrt{2}$a．
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．