Question

20．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A（-1，0）和B（3，4），線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且$|CD|=2\sqrt{10}$．
（1）求直線CD的方程； 
（2）求圓P的方程．

Answer 1

分析 （1）先求得直線AB的斜率和AB的中點，進(jìn)而求得CD斜率，利用點斜式得直線CD 方程．
（2）設(shè)出圓心P的坐標(biāo)，利用直線方程列方程，利用點到直線的距離確定a和b的等式綜合求得a和b，則圓的方程可得．

解答 解：（1）∵直線AB的斜率k=1，AB的中點坐標(biāo)為（1，2）…（4分）
∴直線CD的方程為x+y-3=0…（6分）
（2）設(shè)圓心P（a，b），則由點P在CD上，得a+b-3=0．①
又∵直徑$|CD|=2\sqrt{10}$，∴$|PA|=\sqrt{10}$，∴（a+1）²+b²=10．②…（8分）
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，∴圓心P（0，3）或P（2，1）…．．（10分）
∴圓P的方程為x²+（y-3）²=10或（x-2）²+（y-1）²=10…（12分）

點評 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用能力．