Question

4．已知函數(shù)f（x）=a|x-1|-|x+1|．其中a＞1
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1圍成三角形的面積為$\frac{27}{8}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的分段函數(shù)的形式，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）由f（x）=1，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出三角形的底，根據(jù)三角形的面積求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由條件f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）x+a+1，x＜-1}\\{-（a+1）x+a-1，-1≤x≤1}\\{（a-1）x-a-1，x＞1}\end{array}\right.$，
a=2時(shí)，f（x）≥3?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x+3≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-3x+1≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-3≥3}\end{array}\right.$
?x＜-1或-1≤x≤-$\frac{2}{3}$或x≥6，
故不等式f（x）≥3的解集是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[6，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=1⇒x₁=$\frac{a-2}{a+1}$，x₂=$\frac{a+2}{a-1}$，
三角形的面積S=$\frac{1}{2}$•（$\frac{a+2}{a-1}$-$\frac{a-2}{a+1}$）•3=$\frac{9a}{{a}^{2}-1}$=$\frac{27}{8}$，
解得：a=3或a=-$\frac{1}{3}$，
∵a＞1
∴a=-$\frac{1}{3}$不符合題意
∴a=3
故所求a的值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．