【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若，證明：；

（3）若，證明：.

【答案】（1）1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0，從而求得的值；

（2）由（1）可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求證函數(shù)的最小值大于等于0即可；

（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，，要證，只需證明，若，即，再利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.

（1）由題可得.

當(dāng)時(shí)，若，則，不滿足條件.

當(dāng)時(shí)，令，得.

∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

的最小值為

令，由題意可知.

令，得.

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

.

再結(jié)合式得.

（2）由（1）可得.

令，則.

令，則在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞增，

，

.

（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，.

要證，只需證明.

若，即，則題中不等式成立，下面證明.

令，

求導(dǎo)得，

在上單調(diào)遞增，

，

，即，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于點(diǎn)A，B（不與點(diǎn)重合）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線AB的傾斜角為45°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；

（3）設(shè)直線交l于點(diǎn)M，求證：B，，M三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案．考生的高考總成績(jī)由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分．其中，統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6科中選擇3門作為選考科目，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分．根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為，，，，，，，共8個(gè)等級(jí)．參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．舉例說(shuō)明：某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí)．而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分計(jì)算方法為：設(shè)該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為，，求得．四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?/span>67．為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，全省對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，某校高一年級(jí)2000人，根據(jù)該校高一學(xué)生的物理原始成績(jī)制成頻率分布直方圖（見(jiàn)右圖）．由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校高一學(xué)生的物理原始成績(jī)服從正態(tài)分布，用這2000名學(xué)生的平均物理成績(jī)作為的估計(jì)值，用這2000名學(xué)生的物理成績(jī)的方差作為的估計(jì)值．

（1）若張明同學(xué)在這次考試中的物理原始分為86分，等級(jí)為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求張明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)（精確到1）；按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取100人，記表示這100人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)，求最有可能的取值（概率最大）；

（2）①求，（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)作代表）；

②由①中的數(shù)據(jù)，記該校高一學(xué)生的物理原始分高于84分的人數(shù)為，求．

附：若，則，，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我們知道，目前最常見(jiàn)的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個(gè)洞(或數(shù)字)，其相對(duì)兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個(gè)數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計(jì)一個(gè)“十進(jìn)制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個(gè)數(shù)之一，而且每個(gè)數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請(qǐng)問(wèn)：你能設(shè)計(jì)出這樣的骰子嗎?若能，請(qǐng)寫出你的設(shè)計(jì)方案；若不能，寫出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司培訓(xùn)員工某項(xiàng)技能，培訓(xùn)有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓(xùn)1小時(shí)，周日測(cè)試

方式二：周六一天培訓(xùn)4小時(shí)，周日測(cè)試

公司有多個(gè)班組，每個(gè)班組60人，現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓(xùn)；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓(xùn)后測(cè)試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進(jìn)行培訓(xùn)，分別估計(jì)員工受訓(xùn)的平均時(shí)間精確到，并據(jù)此判斷哪種培訓(xùn)方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓(xùn)后達(dá)標(biāo)的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人來(lái)自甲組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：BD⊥AE

（2）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D－AE－B的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)任意均有 求的取值范圍.

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線與圓相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）求拋物線的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)，作拋物線的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，在底面ABC上的射影為△ABC的重心G.

（1）已知，證明：平面平面；

（2）已知平面與平面ABC所成的二面角為60°，G到直線AB的距離為a，求銳二面角的余弦值.

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