Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|ax﹣x2|+2b（a，b∈R）．
（1）當(dāng)a=﹣2，b=﹣ 時(shí)，解方程f（2x）=0；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a為常數(shù)，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣2，b=﹣ 時(shí)，f（x）=|x2+2x|﹣15，所以方程即為：|2x（2x+2）|=15

解得：2x=3或2x=﹣5（舍），所以x=

（2）解：當(dāng)b=0時(shí)，若不等式：x|a﹣x|≤2x

在x∈[0，2]上恒成立；

當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，則a∈R；

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，則|a﹣x|≤2，

在[0，22]上恒成立，即﹣2≤x﹣a≤2在（0，2]上恒成立，

因?yàn)閥=x﹣a在（0，2]上單調(diào)增，ymax=2﹣a，ymin=﹣a，則 ，解得：0≤a≤2；

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0.2]

（3）解：函數(shù)f（x）在[0，2]上存在零點(diǎn)，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解；

設(shè)h（x）=

當(dāng)a≤0時(shí)，則h（x）=x2﹣ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上單調(diào)增，

所以h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，

則當(dāng) 0≤﹣2b≤4﹣2a時(shí)，原方程有解，則a﹣2≤b≤0；

當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）= ，

h（x）在[0， ]上單調(diào)增，在[ ]上單調(diào)減，在[a，+∞）上單調(diào)增；

①當(dāng) ，即a≥4時(shí)，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4﹣2a，

則當(dāng)則當(dāng)0≤﹣2b≤2a﹣4時(shí)，原方程有解，則2﹣a≤b≤0；

②當(dāng) ，即2≤a＜4時(shí)，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（ ）= ，

則當(dāng)0≤﹣2b≤ 時(shí)，原方程有解，則﹣ ；

③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，h（x）min=h（0）=0，h（x）max=max{h（2），h（ ）=max{4﹣2a， }

當(dāng) ，即當(dāng)﹣4+4 ≤a＜2時(shí)，h（x）max=

，則當(dāng)0≤﹣2b≤ 時(shí)，原方程有解，則 ；

當(dāng) ，即則0 時(shí)，h（x）max=4﹣2a，

則當(dāng)0≤﹣2b≤4﹣2a時(shí)，原方程有解，則a﹣2≤b≤0；

綜上，當(dāng)0＜a＜﹣4+4 時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[a﹣2，0]；

當(dāng)﹣4+4 ≤a＜4時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[ ]；

當(dāng)a≥4時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[2﹣a，0]

【解析】（1）解：（1）原方程即為：|2x（2x+2）|=15，解得2x即可，（2）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）﹣2x）max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘（3）函數(shù)f（x）在[0，2]上存在零點(diǎn)，即方程x|a﹣x|=﹣2b在[0，2]上有解，分類求出設(shè)h（x）= 的值域即可．