【題目】已知a∈R,當(dāng)x>0時,f(x)=log2 +a).
(1)若函數(shù)f(x)過點(1,1),求此時函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+2log2x只有一個零點,求實數(shù)a的范圍;
(3)設(shè)a>0,若對任意實數(shù)t∈[ ,1],函數(shù)f(x)在[t,t+1]上的最大值與最小值的差不大于1,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵a∈R,當(dāng)x>0時,f(x)=log2 +a).

函數(shù)f(x)過點(1,1),

∴f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,

∴此時函數(shù)f(x)=log2 +1)(x>0).


(2)解:g(x)=f(x)+2log2x= +2log2x=log2(x+ax2),

∵函數(shù)g(x)=f(x)+2log2x只有一個零點,

∴g(x)=f(x)+2log2x=log2(x+ax2)=0

∴( +a)x2=1化為ax2+x﹣1=0

∴h(x)=ax2+x=1在(0,+∞)上只有一個解,

∴當(dāng)a=0時,h(x)=x﹣1,只有一個零點,可得x=1;

當(dāng)a≠0時,h(x)=ax2+x﹣1在(0,+∞)上只有一個零點,

當(dāng)a>0時,成立;

當(dāng)a<0時,令△=1+4a=0解得a=﹣ ,可得x=2.

綜上可得,a≥0或a=﹣


(3)解:f(x)= ,

f′(x)=﹣

當(dāng)x>0時,f′(x)<0,f(x)在[t,t+1]上的最大值與最小值分別是f(t)與f(t+1),

由題意,得f(t)﹣f(t+1)≤1,

≤2,

整理,得a≥

設(shè)Q(t)= ,

Q′(t)= ,

當(dāng)t∈[ ,1]時,Q′(t)<0,

則a≥Q(t),∴a≥Q( ),解得a≥

∴實數(shù)a的取值范圍是[ ,+∞).


【解析】(1)由f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,由此能求出此時函數(shù)f(x)的解析式.(2)g(x)=log2(x+ax2),由函數(shù)g(x)只有一個零點,從而h(x)=ax2+x=1在(0,+∞)上只有一個解,由此能求出a.(3)f(x)= ,由題意,得f(t)﹣f(t+1)≤1,從而a≥ ,設(shè)Q(t)= ,Q′(t)= ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合{(x,y)|x∈[0,2],y∈[﹣1,1]}
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知過點M(﹣3,0)的直線l被圓x2+(y+2)2=25所截得的弦長為8,那么直線l的方程為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,關(guān)于正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , 下面結(jié)論錯誤的是(
A.BD⊥平面ACC1A1
B.AC⊥BD
C.A1B∥平面CDD1C1
D.該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為2:1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法中,正確的是(
A.命題“若x≠2或y≠7,則x+y≠9”的逆命題為真命題
B.命題“若x2=4,則x=2”的否命題是“若x2=4,則x≠2”
C.命題“若x2<1,則﹣1<x<1”的逆否命題是“若x<﹣1或x>1,則x2>1”
D.若命題p:x∈R,x2﹣x+1>0,q:x0∈(0,+∞),sinx0>1,則(¬p)∨q為真命題

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點P為線段y=2x,x∈[2,4]上任意一點,點Q為圓C:(x﹣3)2+(y+2)2=1上一動點,則線段|PQ|的最小值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0},A∩B=B,求實數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|ax﹣x2|+2b(a,b∈R).
(1)當(dāng)a=﹣2,b=﹣ 時,解方程f(2x)=0;
(2)當(dāng)b=0時,若不等式f(x)≤2x在x∈[0,2]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若a為常數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上存在零點,求實數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)求所有的實數(shù)a,使得對任意x∈[1,2]時,函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)=2x+1圖象的下方;
(3)若存在a∈[﹣4,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案