Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，右焦點為F（c，0），P（x₀，y₀）是橢圓上一點，且x₀＞0，過P作圓x²+y²=b²的切線，交橢圓于另一點Q，設(shè)切點為M，
（1）用x₀表示|PM|；
（2）若△PQF的周長為16，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）將P（x₀，y₀）代入橢圓方程，結(jié)合橢圓的離心率為

3

2

化簡得

y

2 0

=

1

4

a2-

1

4

x

2 0

，連結(jié)PO，OM，Rt△POM中利用勾股定理即可算出用x₀表示|PM|的式子；
（2）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義，算出|PF|=a-

3

2

x0，可得|PM|+|PF|=a，同理|QM|+|QF|=a．由此可得△PQF的周長為2a=16，從而得到a=8且b=4，可得橢圓的方程．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a，可得b2=

1

4

a2
∵P（x₀，y₀）是橢圓上一點，
∴P坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡得

y

2 0

=

1

4

a2-

1

4

x

2 0

，
連結(jié)PO，OM，可得OM⊥PQ
∴|PM|=

PO2-OM2

=

x 2 0 + y 2 0 -b2

=

3

2

x0…（6分）
（2）橢圓的右準(zhǔn)線為x=

a2

c

即x=

2 3

3

a，
∴根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，得

|PF|

2 3 3 a-x0

=

3

2

，
化簡得|PF|=

3

2

(

2 3

3

a-x0)=a-

3

2

x0
∴|PM|+|PF|=a-

3

2

x0+

3

2

x 0=a，同理可得|QM|+|QF|=a
因此，|PQ|+|PF|+|QF|=（|PM|+|PF|）+（|QM|+|QF|）=2a=16，解得a=8，
由此可得b=

1

2

a=4，得橢圓的方程為 

x2

64

+

y2

16

=1．

點評：本題著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理和圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識，屬于中檔題．