Question

（2012•安徽模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，底面四邊形ABCD為直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，側(cè)棱PB與底面ABCD成30°角，點M是PB上的動點，且

PM

PB

=λ（λ∈[0，1]）．
（1）若CM∥平面PAD，求λ的值；
（2）當(dāng)λ為何值時，CM與平面PAD所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）在底面四邊形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推導(dǎo)出四邊形CDNM是平行四邊形．從而能夠找到點M在線段PB上使PA=4PN處．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，求出平面PAD的法向量，從而可得cos＜

n•

CM

＞=

-4λ+1

2 2 • 4λ2-2λ+1

設(shè)

n

，

CM

分別所在直線所成銳角為θ，則cosθ=

|-4λ+1|

2 2 • 4λ2-2λ+1

=

2

4

×

4- 3 4(λ- 1 4 )2+ 3 4

，cosθ最大，θ最小，CM與與平面PAD所成的角φ=

π

2

-θ最大，故可得結(jié)論．

解答：解：（1）在底面四邊形ABCD中
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取點N，使PA=4PN，
連接NM，MC，ND，
在△PAB中，
∵

PN

PA

=

PM

PB

=

1

4

，∴MN∥AB，MN=

1

4

AB，
∴四邊形CDNM是平行四邊形，
所以此時的CM∥平面PAD，λ=

1

4

．
（2）以C為坐標(biāo)原點，CB，CD，CP所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），A（2

3

，4，0），B（2

3

，0，0），C（0，0，0）
設(shè)平面PAD的法向量為

n

=（x，y，z）
由

n • PA =0 n • PD =0

，可得

2 3 x+4y-2z=0 y-2z=0

，∴

x=- 3 z y=2z

令z=1，則

n

=（-

3

，2，1）
∵

n•

CM

=-8λ+2，|

n

|=2

2

，|

CM

|=2

4λ2-2λ+1

∴cos＜

n•

CM

＞=

-4λ+1

2 2 • 4λ2-2λ+1

設(shè)

n

，

CM

分別所在直線所成銳角為θ，則cosθ=

|-4λ+1|

2 2 • 4λ2-2λ+1

=

2

4

×

4- 3 4(λ- 1 4 )2+ 3 4

∵λ∈[0，1]，∴λ=1時，cosθ最大，從而θ最小，CM與與平面PAD所成的角φ=

π

2

-θ最大
∴sinφ=sin（

π

2

-θ）=cosθ=

6

4

點評：本題考查線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運用向量方法求解立體幾何問題．