Question

若函數(shù)f（x）滿足：對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）為“守法函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②y=log₂（x+1）；③y=2^x-1；④y=cosx；其中“守法函數(shù)”的所有函數(shù)的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：分別判斷四個(gè)函數(shù)是否滿足兩個(gè)條件f（x₁）＞0，f（x₂）＞0和f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，然后確定“守法函數(shù)的序號”．
解答：解：①若f（x）=，則對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）=，f（x₁+x₂）=，，所以f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），所以①不是“守法函數(shù)”．
②若f（x）=log₂（x+1），對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，設(shè)x₁=x₂=1，則f（x₁）+f（x₂）=1+1=2，而f（x₁+x₂）=log₂3＜2，所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）不成立，所以②不是“守法函數(shù)”．
③若f（x）=2^x-1，對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＜0，則③是“守法函數(shù)”．④若f（x）=cosx，因?yàn)閒（x）=cosx∈[-1，1]，所以任意x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）＞0，f（x₂）＞0不一定成立，所以④不是“守法函數(shù)”．
故答案為：③．
點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及值域，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．