Question

設(shè)f（x）=x²-x-alnx
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）通過解f′（x）求單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即可確定實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）由于f（x）=x²-x-lnx，
則f'（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，則x＞1，∴x＞1；
令f′（x）＜0，
則0＜x＜1，∴0＜x＜1；
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（2）由于f（x）=x²-x-alnx，則f（x）=2x-1-

a

x

（x＞0）
由于f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
則2x-1-

a

x

≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≤2x²-x在[2，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=2x²-x，
∵g（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（2）=6，
∴a≤6
∴實數(shù)a的取值范圍（-∞，6]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確運用分離參數(shù)法是關(guān)鍵．