Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝a_n＋1＋n－2，n∈N^*，a₁＝2.

(1)證明：數(shù)列{a_n－1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項；

(2)設(shè)的前n項和為T_n，證明：T_n<6.

 

Answer 1

(1)解　因為S_n＝a_n＋1＋n－2，①

當(dāng)n≥2時，S_n－1＝a_n＋(n－1)－2＝a_n＋n－3，②

①－②，得a_n＝a_n＋1－a_n＋1，

即a_n＋1＝2a_n－1.③

設(shè)c_n＝a_n－1，代入③，得c_n＋1＋1＝2(c_n＋1)－1，

即c_n＋1＝2c_n.

由S_n＝a_n＋1＋n－2，得a₂＝S₁－1＋2＝3，

顯然c₁＝a₁－1＝1，c₂＝a₂－1＝2.

故數(shù)列{c_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

即數(shù)列{a_n－1}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．

則a_n－1＝2^n－1，即a_n＝2^n－1＋1.

(2)證明　由a_n＝2^n－1＋1，得S_n＝2ⁿ＋n－1，

故S_n－n＋1＝2ⁿ.所以b_n＝.

則T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝＋＋…＋，④