Question

14．在直角三角形△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P（如圖），若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則AP等于（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． 4$\sqrt{2}$-4

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，由P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過△ABC的內(nèi)心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的值．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：
可得B（4，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則$\frac{1}{2}×4×4=\frac{1}{2}×（4+4+4\sqrt{2}）r$，
∴r=4-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的內(nèi)心坐標(biāo)為（4-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）．
設(shè)P（a，0），其中0＜a＜4，
則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P₁（x，y），滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+x}{2}+\frac{y+0}{2}=4}\\{\frac{y-0}{x-a}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4-a}\end{array}\right.$，即P₁（4，4-a），
易得P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線，
直線QR的斜率為k=$\frac{4-a}{4+a}$，故直線QR的方程為y=$\frac{4-a}{4+a}$（x+a），
由于直線QR過△ABC的內(nèi)心，代入化簡(jiǎn)可得a=4$\sqrt{2}$-4，
故AP=4$\sqrt{2}$-4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與點(diǎn)的對(duì)稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題．