Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=60°，BC=1，以CD為直徑作圓與AB相切于點(diǎn)M，且交BC邊于E點(diǎn)，求BE的長(zhǎng)

Answer 1

分析 連接OE，OM，延長(zhǎng)CD，BA交于點(diǎn)G，由∠B=∠C=60°，易得∠G=60°，△CEO為等邊三角形，由同位角相等易得OE∥BG，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得$\frac{CE}{BE}=\frac{OC}{OG}$，在Rt△OMG中，利用銳角三角函數(shù)可得OG，從而得到$\frac{CE}{BE}$，由CE+BE=BC=1，解得BE．

解答 解：設(shè)⊙O的半徑為r，
連接OE，OM，延長(zhǎng)CD，BA交于點(diǎn)G，
∵∠B=∠C=60°，
∴∠G=60°，
∵OC=OE=r，
∴∠CEO=60°，
∴△CEO為等邊三角形，
∴CE=OC=r，
∵∠OEC=∠B=60°，
∴OE∥BG，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{OC}{OG}$，
在Rt△OMG中，OG=$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
則$\frac{CE}{BE}$=$\frac{r}{\frac{2\sqrt{3}}{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE+BE=1，
∴BE=4-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．