Question

13．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線(xiàn)AD₁與BD所成的角為60⁰；若AB的中點(diǎn)為M，DD₁的中點(diǎn)為N，則異面直線(xiàn)B₁M與CN所成的角為90⁰．

Answer 1

分析 題目要求解的是兩條異面直線(xiàn)所成角的，通過(guò)尋找平行線(xiàn)，BC₁∥AD₁，異面直線(xiàn)AD₁與BD所成的角為∠DBC₁，△DBC₁是等邊三角形，可得∠DBC₁的大�。�給出了AB的中點(diǎn)為M，DD₁的中點(diǎn)為N，過(guò)M點(diǎn)作CN平形線(xiàn)交AA₁于F，連接MF，得到異面直線(xiàn)B₁M與CN所成的角為∠FMB₁，求出三條邊的長(zhǎng)度，滿(mǎn)足勾股定理，即可求∠FMB₁的大�。�

解答 解：由題意：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，BC₁∥AD₁，
異面直線(xiàn)AD₁與BD所成的角為∠DBC₁，連接C₁D，
可得：DB，C₁D，BC₁是正方形的對(duì)角線(xiàn)，
∴DB=C₁D=BC₁
所以△DBC₁是等邊三角形，
異面直線(xiàn)AD₁與BD所成的角為∠DBC₁=60°．
AB的中點(diǎn)為M，DD₁的中點(diǎn)為N，
過(guò)M點(diǎn)作CN平形線(xiàn)交AA₁于F，連接MF，
異面直線(xiàn)B₁M與CN所成的角為∠FMB₁，
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，則CN=MB₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
MF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，B₁F=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{A}_{1}{F}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{16}{a}^{2}}=\frac{5}{4}a$．
∵$M{F}^{2}+M{{B}_{1}}^{2}=F{{B}_{1}}^{2}$．
∴FM⊥MB₁
即異面直線(xiàn)B₁M與CN所成的角為90°．
故答案為：60°，90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線(xiàn)角的能力．在立體幾何中找平行線(xiàn)是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過(guò)三角形的中位線(xiàn)找平行線(xiàn)，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線(xiàn)的關(guān)鍵技巧，此題是中低檔題．