Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1處取得極值，且在x=0處的切線的斜率為-3，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若過點(diǎn)A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c，
依題意，
又f′（0）=-3，
∴c=-3，
∴a=1，
∴f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為，
∵f′（x）=3x²-3，
∴，
∴切線方程為，
又切線過點(diǎn)A（2，m），
∴，
∴，
令g（x）=-2x³+6x²-6，
則g′（x）=-6x²+12x=-6x（x-2），
由g′（x）=0得x=0或x=2，
g（x）_極小值=g（0）=-6，g（x）_極大值=g（2）=2，

畫出草圖知，當(dāng)-6＜m＜2時(shí)，m=-2x³+6x²-6有三解，
所以m的取值范圍是（-6，2）。