函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）寫出f（x）的單調減區(qū)間，并判斷f（x）有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（不需說明理由）
（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=f（x），即
ax+b
x2+1
=-
-ax+b
x2+1
，∴b=0．  …（2分）
∵f（
1
2
）=
2
5
，∴a=1．
∴f（x）=
x
x2+1
． …（5分）
（2）任取-1＜x1＜x2＜1，f（x1）-f（x2）=
x1
x12+1
-
x2
x22+1

=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
．  …（7分）
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，1-x1•x2＞0，故 
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
＜0，
故有f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)． …（10分）
（3）單調減區(qū)間（-∞，-1]，[1，+∞），…（12分）
當x=-1時有最小值-
1
2
，當x=1時有最大值
1
2
． …（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=
ax+2b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(1)=
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（3）解不等式f(2-t)+f(
t
5
)＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax，(x＜0)
(a-3)x+4a，(x≥0)
滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
為奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解關于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax-1x+1
，  其中 a∈R．
（1）當a=1時，求函數(shù)滿足f（x）≤1時的x的集合；
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax+
a-1x
 (a∈R)，g（x）=lnx．
（1）若對任意的實數(shù)a，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在x=x0處的切線斜率總相等，求x0的值；
（2）若a＞0，對任意x＞0，不等式f（x）-g（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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