Question

設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。

①求的單調(diào)區(qū)間與極值；

②求證：當(dāng)且時(shí)，。

 

Answer 1

【答案】

（1）解：由

令，得于是當(dāng)的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值，極小值為

（2）設(shè)。對(duì)于任意的＞0，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。

得到。

【解析】

試題分析：（1）解：由

令，得于是當(dāng)的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值，極小值為

（2）證：設(shè)。由(1)知＞時(shí)，＞0

于是對(duì)于任意的＞0，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。

于是當(dāng)＞時(shí)，對(duì)任意的＞

而=0，從而對(duì)于任意的，＞0.

即＞0，故

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。

點(diǎn)評(píng)：典型題，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，函數(shù)是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)值為非正，函數(shù)為減函數(shù)。求極值的步驟：計(jì)算導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論駐點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值。不等式證明中，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵。本題利用“本解法”，直觀明了。