設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)。
①求的單調(diào)區(qū)間與極值;
②求證:當(dāng)且時(shí),。
(1)解:由
令,得于是當(dāng)的變化情況如下:
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- |
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故的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,在處取得極小值,極小值為
(2)設(shè)。對(duì)于任意的>0,所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。
得到。
【解析】
試題分析:(1)解:由
令,得于是當(dāng)的變化情況如下:
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- |
0 |
+ |
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故的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,在處取得極小值,極小值為
(2)證:設(shè)。由(1)知>時(shí),>0
于是對(duì)于任意的>0,所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。
于是當(dāng)>時(shí),對(duì)任意的>
而=0,從而對(duì)于任意的,>0.
即>0,故
考點(diǎn):本題主要考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
點(diǎn)評(píng):典型題,在給定區(qū)間,導(dǎo)數(shù)值非負(fù),函數(shù)是增函數(shù),導(dǎo)數(shù)值為非正,函數(shù)為減函數(shù)。求極值的步驟:計(jì)算導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論駐點(diǎn)附近導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值。不等式證明中,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵。本題利用“本解法”,直觀明了。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)若,求的取值范圍;
(2)若寫出的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)且求不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分16分) 設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù). (1)若,求的取值范圍; (2)求的最小值; (3)設(shè)函數(shù),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年新疆烏魯木齊市高三上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)。
(1)若,求的取值范圍 (2)求的最小值
(3)設(shè)函數(shù),直接寫出(不需要給出演算步驟)不等式的解集。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年高考試題分項(xiàng)版理科數(shù)學(xué)之專題十三導(dǎo)數(shù) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)。
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)且時(shí),。
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