Question

某高校自主招生考試中，所有去面試的考生全部參加了“語言表達(dá)能力”和“競(jìng)爭(zhēng)與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”兩個(gè)科目的測(cè)試，成績分別為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)，某考場(chǎng)考生的兩科測(cè)試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖，其中“語言表達(dá)能力”成績等級(jí)為B的考生有10人．
（Ⅰ）求該考場(chǎng)考生中“競(jìng)爭(zhēng)與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目成績等級(jí)為A的人數(shù)；
（Ⅱ）已知等級(jí)A、B、C、D、E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求該考場(chǎng)學(xué)生“語言表達(dá)能力”科目的平均分；
（ii）求該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，從這10人中隨機(jī)抽取2人，求2人成績之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,收集數(shù)據(jù)的方法

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由“語言表達(dá)能力”成績等級(jí)為B的考生有10人，頻率為0.25，可求考場(chǎng)中的人數(shù)，然后結(jié)合其頻率可求；
（Ⅱ）（i）結(jié)合頻率分布直方圖可求該考場(chǎng)考生“競(jìng)爭(zhēng)與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目的平均分；
（ii）設(shè)兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20，然后求出ξ去每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可求解出ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望；

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)椤罢Z言表達(dá)能力”科目中成績等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場(chǎng)有10÷0.25=40人…（1分）
所以該考場(chǎng)考生中“競(jìng)爭(zhēng)與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目中成績等級(jí)為A的人數(shù)為40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3…（3分）
（Ⅱ）（i）該考場(chǎng)考生“語言表達(dá)能力”科目的平均分為

40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075)

40

=2.9（7分）
（ii）設(shè)兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20…（8分）
P（ξ=16）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，P（ξ=17）=

C 1 2 C 1 6

C 2 10

=

4

15

，P（ξ=18）=

C 1 6 C 1 2 + C 2 2

C 2 10

=

13

45

，
P（ξ=19）=

C 1 2 C 1 2

C 2 10

=

4

45

，P（ξ=20）=

C 2 2

C 2 10

=

1

45

．
所以ξ的分布列為

X	16	17	18	19	20
P	1 3	4 15	13 45	4 45	1 45

…（11分）
所以Eξ=16×

1

3

+17×

4

15

+18×

13

45

+19×

4

45

+20×

1

45

=

86

5

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為

86

5

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式的應(yīng)用．