Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^2x+2a^x-1，其中a＞0且a≠1．
（1）若a=

1

2

，請(qǐng)用定義證明f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為14，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，證明f（x₂）-f（x₁）＞0即可．
（2）先a^x=t，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)，注意討論a的大小，求出變量t的范圍，結(jié)合開口方向和對(duì)稱軸求出最大值，建立等量關(guān)系，解之即可．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，則
f（x₂）-f（x₁）=(

1

2

)2x2+2(

1

2

)x2-1-（(

1

2

)2x1+2(

1

2

)x1-1）=(

1

2

)2x2-(

1

2

)2x1+2(

1

2

)x2-2(

1

2

)x1
∵2x₂＞2x₁，函數(shù)g（x）=(

1

2

)x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．
∴(

1

2

)2x2-(

1

2

)2x1＞0，2(

1

2

)x2-2(

1

2

)x1＞0即有f（x₂）-f（x₁）＞0．
故f（x）在R上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)a^x=t，則y=f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2
其對(duì)稱軸是t=-1，若a＞1，x∈[-1，1]時(shí)，t∈[

1

a

，a]
二次函數(shù)y=f（t）在[

1

a

，a]上是增函數(shù)，從而y_max=f（a）=a²+2a-1
令a²+2a-1=14，得a=3（a=-5舍去）
若0＜a＜1，x∈[-1，1]時(shí)t∈[a，

1

a

]，y=f（t）在[a，

1

a

]上仍是增函數(shù)，
從而ymax=f（

1

a

）=

1

a2

+

2

a

-1=14，解得a=

1

3

或a=-

1

5

（舍去）
綜合得：a=3或a=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，考察了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．