【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).
(1)如果直線過拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(2)如果 ,證明:直線必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).
【答案】(1) .
(2)證明見解析; .
【解析】試題分析:解決直線和拋物線的綜合問題時(shí)注意:第一步:根據(jù)題意設(shè)直線方程,有的題設(shè)條件已知點(diǎn),而斜率未知;有的題設(shè)條件已知斜率,點(diǎn)不定,可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步:聯(lián)立方程:把所設(shè)直線方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去一個(gè)元,得到一個(gè)一元二次方程.第三步:求解判別式:計(jì)算一元二次方程根.第四步:寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步:根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.
試題解析:(1)由題意:拋物線焦點(diǎn)為(1,0),設(shè)l:x=ty+1,代入拋物線y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=-4,
∴·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. ----6分
(2)設(shè)l:x=ty+b代入拋物線y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=4t,y1y2=-4b,
∴·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,∴直線l過定點(diǎn)(2,0).∴若·=-4,則直線l必過一定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知全集U={2,4,a2-a+1},A={a+4,4},UA={7},則a=________.
(2)當(dāng)a>0且a≠1時(shí),函數(shù)必過定點(diǎn)_______
(3)為了保證信息安全,傳輸必須使用加密方式,有一種方式其加密、解密原理如下:
明文密文密文明文
己知加密為y=ax-2(x為明文、y為密文),如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”,再發(fā)送,接收方通過解密得到明文“3”,若接收方接到密文為“14”,則原發(fā)的明文是________.
(4)已知3a=5b=M,且,則M的值為______________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 在x=1處取得極值.
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f(x)≥ 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)n∈N* , n≥2時(shí),求證:nf(n)<2+ + +…+ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)個(gè)質(zhì)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,且.求證
(1)當(dāng)是質(zhì)數(shù)時(shí),;
(2)當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判斷在定義域上的單調(diào)性并加以證明;
(Ⅲ)若對(duì)于任意的,不等式恒成立, 求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)若函數(shù)在上的最小值為,求的值;
(3)若,且對(duì)任意恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,某重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師對(duì)新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于15小時(shí)的有19人,余下的人中,在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占 ,統(tǒng)計(jì)成績后,得到如下的2×2列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)大于等于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
周做題時(shí)間不少于15小時(shí) | 4 | 19 | |
周做題時(shí)間不足15小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(Ⅰ)請(qǐng)完成上面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(Ⅱ)( i)按照分層抽樣的方法,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是X,求X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
( ii)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.
附:
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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