Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 在x=1處取得極值．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[1，+∞）時，f（x）≥ 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當n∈N* ， n≥2時，求證：nf（n）＜2+ + +…+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，

所以f'（1）=1﹣a=0即a=1，∴ ，

令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，

所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

（2）解：由題意要使x∈[1，+∞）時， 恒成立，

即 ，

記 ，則m≤[h（x）]min，

，又令g（x）=x﹣lnx，

則 ，又x≥1，所以 ，

所以g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

即g（x）≥g（1）=1＞0，

∴ ，

即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以[h（x）]min=h（1）=2，∴m≤2．

（3）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，

而 （n∈N*，n≥2），

∴ ，

∴ ，

即 ，

∴ ，

即 ，而nf（n）=1+lnn，

∴ 結(jié)論成立．

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出a的值，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為 ，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；（3）求出ln（n+1）﹣lnn＜ ，結(jié)合nf（n）=1+lnn，證出結(jié)論即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．