Question

6．已知圓C：x²+y²+2x-2y=0的圓心為C，A（4，0），B（0，-2）
（Ⅰ）在△ABC中，求AB邊上的高CD所在的直線方程；
（Ⅱ）求與圓C相切且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心為C（-1，1），半徑$r=\sqrt{2}$，求出AB的斜率，直線CD的斜率，然后求解直線CD的方程．
（Ⅱ）①當(dāng)兩截距均為0時，設(shè)直線方程為y=kx，通過圓心C到直線的距離求解即可；
②當(dāng)兩截距均不為0時，設(shè)直線方程為x+y=a，通過圓心C到直線的距離求解即可；

解答 解：（Ⅰ）依題意得，圓心為C（-1，1），半徑$r=\sqrt{2}$，${k_{AB}}=\frac{0-（-2）}{4-0}=\frac{1}{2}$，
∴直線CD的斜率為：${k_{CD}}=\frac{-1}{{{k_{AB}}}}=-2$，
∴直線CD的方程為：y-1=-2（x+1），即2x+y-1=0．
（Ⅱ）①當(dāng)兩截距均為0時，設(shè)直線方程為y=kx，
則圓心C到直線的距離為$\frac{|k+1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得k=1，得直線為y=x，
②當(dāng)兩截距均不為0時，設(shè)直線方程為x+y=a，
則圓心C到直線的距離為$\frac{|a|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，解得a=±2，得直線為x+y=2或x+y=-2，
綜上所述，直線方程為x-y=0或x+y-2=0或x+y+2=0．

點評 本題考查直線與圓的法長的求法，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力．