（08年杭州市質(zhì)檢一）(14分) 已知向量x = (1，t2 3 ) ,  y = (k ，t) (其中實數(shù)k和t不同時為零)，當| t | £ 2時, 有 x⊥y ,當| t | > 2時,有x∥y.

(1) 求函數(shù)關系式k = f (t ) ;

(2) 求函數(shù)f (t )的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3) 求函數(shù)f (t )的最大值和最小值.

解析： (1) 當| t | £ 2時,由x⊥y得：x?y = k + (t2 3 ) t = 0,

得k = f (t ) = t3 3t   (  | t | £ 2  )

當| t | > 2時, 由x∥y得： k =  

所以k = f (t ) =                         5分

(2) 當| t | £ 2時, f `(t ) =3 t2 3 ,  由f `(t ) < 0 , 得3 t2 3 < 0

解得 1 < t < 1 ,

當| t | > 2時, f `(t ) =  = > 0

∴函數(shù)f (t )的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1).                               4分

(3) 當| t | £ 2時, 由f `(t ) =3 t2 3 =0得 t = 1或t = 1

∵  1 <| t |  £ 2時,  f `(t ) > 0

∴ f (t)極大值= f (1) = 2，      f (t)極小值= f (1) = 2

     又 f ( 2 ) = 8 6 = 2,        f (2) = 8 + 6 = 2

     當 t > 2 時, f (t ) =< 0 ,

又由f `(t ) > 0知f (t )單調(diào)遞增, ∴ f (t ) > f (2) = 2,

即當 t > 2 時, 2 < f (t ) < 0,

同理可求, 當t < 2時,  有0 < f (t ) < 2,

綜合上述得, 當t = 1或t = 2時, f ( t )取最大值2

當t = 1或t = 2時, f ( t )取最小值2                    5分

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