Question

設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)于x∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)m的取值分類討論，分為m=0和m≠0兩種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等關(guān)系，即可求得m的取值范圍；
（Ⅱ）將不等式等價(jià)f（x）＜-m+5轉(zhuǎn)化為m（x²-x+1）＜6，再利用參變量分離轉(zhuǎn)化為m＜

6

x2-x+1

，f（x）＜-m+5對(duì)于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（

6

x2-x+1

）_min，再求出y=

6

x2-x+1

的最小值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）①當(dāng)m=0時(shí)，-1＜0恒成立，∴m=0；
②當(dāng)m≠0時(shí)，
∵f（x）＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴

m＜0 △=m2+4m＜0

，解得，-4＜m＜0，
綜合①②，m的取值范圍為（-4，0]．
（Ⅱ）∵f（x）=mx²-mx-1，
∴f（x）＜-m+5對(duì)于x∈[-2，2]恒成立，即m（x²-x+1）＜6對(duì)于x∈[-2，2]恒成立，
∵x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴m＜

6

x2-x+1

對(duì)于x∈[-2，2]恒成立，即m＜（

6

x2-x+1

）_min，
∵y=

6

x2-x+1

=

6

(x- 1 2 )2+ 3 4

，
∴當(dāng)x=-2，（

6

x2-x+1

）_min=

6

7

，
∴m＜

6

7

．
故m的取值范圍為（-∞，

6

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題．對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值．屬于中檔題．