Question

設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+2mx+m²-1=0的兩個(gè)實(shí)根，又f（m）=x₁²+x₂²．
（1）求函數(shù)f（m）的解析式；
（2）當(dāng)m∈[-1，2）時(shí)，求此函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由 x²+2mx+m²-1=（x+m+1）（x+m-1）=0，可得x₁=-m-1，x₂=1-m，求得 f（m）=2m²+2．
（2）當(dāng)m∈[-1，2）時(shí)，f（m）=2m²+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（m）的值域．

解答： 解：（1）∵x²+2mx+m²-1=（x+m+1）（x+m-1）=0，故一元二次方程x²+2mx+m²-1=0的兩個(gè)實(shí)根為-m-1、1-m，
即x₁=-m-1，x₂=1-m，
∴f（m）=x₁²+x₂² =（-m-1）²+（-m+1）²=2m²+2．
（2）當(dāng)m∈[-1，2）時(shí)，f（m）=2m²+2，故當(dāng)m=0時(shí)，f（m）取得最小值為2；
當(dāng)m趨于2時(shí)，f（m）趨于10，故f（m）的值域?yàn)閇2，10）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．