Question

已知曲線C的參數(shù)方程為x=

3

cosα y=3sinα 以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線1的極坐標方程為ρcos（θ+

π

6

）=1．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設M是曲線C上的點，求M到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）利用sin²α+cos²α=1即可把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
（II）由直線1的極坐標方程ρcos（θ+

π

6

）=1，展開

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ=1，化為直角坐標方程為

3

x-y-2=0．設與直線l平行且與橢圓相切的直線方程為

3

x-y+m=0，與橢圓方程聯(lián)立化為6x2+2

3

mx+m2-9=0，令△=0，解得m=±2

3

．取m=2

3

，求出兩條平行線之間的距離即可．

解答： 解：（I）由曲線C的參數(shù)方程為x=

3

cosα，y=3sinα，利用sin²α+cos²α=1化為

y2

9

+

x2

3

=1．
（II）由直線1的極坐標方程ρcos（θ+

π

6

）=1，展開

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ=1，化為直角坐標方程為

3

x-y-2=0．
設與直線l平行且與橢圓相切的直線方程為

3

x-y+m=0，
聯(lián)立

y2+3x2=9 3 x-y+m=0

，化為6x2+2

3

mx+m2-9=0，
令△=0，化為m²=18，解得m=±2

3

．
取m=2

3

，
則M到直線l的距離的最大值=

2 3 +2

2

=

3

+1．

點評：本題主要考查曲線的參數(shù)方程與極坐標方程、直線的極坐標方程、直線與橢圓相切問題、平行線之間的距離等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．