Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足sin

A

2

=

5

5

，且bc=5．
（Ⅰ）求cos

A

2

的值和△ABC的面積；
（Ⅱ）若b²+c²=26，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A的范圍，求出

A

2

的范圍，再由sin

A

2

的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos

A

2

的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡sinA，把sin

A

2

和cos

A

2

的值代入即可求出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；
（Ⅱ）由二倍角的余弦函數(shù)公式表示出cosA，把sin

A

2

的值代入求出cosA的值，再由bc及b²+c²的值，利用余弦定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：（本小題共13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="72ectl7" class="MathJye">sin

A

2

=

5

5

，且0＜A＜π，
所以0＜

A

2

＜

π

2

，
∴cos

A

2

=

2 5

5

，（3分）
∴sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=

4

5

，又bc=5，（6分）
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=2；（8分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="dwrt2ul" class="MathJye">sin

A

2

=

5

5

，所以cosA=1-2sin2

A

2

=

3

5

，（10分）
∵bc=5，b²+c²=26，
∴根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=26-2×5×

3

5

=20，（12分）
∴a=2

5

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦定理，以及三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分別求出sinA和cosA，進(jìn)而利用三角形面積公式及余弦定理來解決問題．